Tìm tất cả giá trị của tham số m để hàm số y = mx² – (m + 6)x nghịch biến trên khoảng (–1; +∞).

y′ = 2mx − (m+6)

Xét y′ = 0:

y′ = 0

⇔ 2mx − (m + 6) = 0

⇔ (2m − 1)x = 6 – m

Nếu 2m – 1 = 0

⇒ m = \(\frac{1}{2}\)

⇒ Phương trình trở thành 0x = 6 – \(\frac{1}{2}\), vô nghiệm trên khoảng (−1; +∞).

Nếu 2m – 1 ≠ 0

⇒ m ≠ \(\frac{1}{2}\)

⇒ Phương trình có nghiệm duy nhất trên khoảng (−1; +∞) là \(x = \frac{{6 - m}}{{2m - 1}}\).

Để hàm số y = mx² − (m + 6)x nghịch biến trên khoảng (−1; +∞), tham số m phải thỏa mãn hai điều kiện sau: \(\left\{ \begin{array}{l}m > - 6\\m \ne \frac{1}{2}\end{array} \right.\)

Vậy, tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = mx² − (m + 6)x nghịch biến trên khoảng (−1; +∞) là m ∈ (−6,\(\frac{1}{2}\)) ∪ (\(\frac{1}{2}\), +∞).