Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số $\text{y}={\text{x}}^4+4m{x}^3+3( \text{m}+1){\text{x}}^2+1$ có cực tiểu mà không có cực đại.

Ta có: $y^{\text{'}}=4x^3+12{\text{mx}}^2+6( \text{m}+1)\text{x}$

TH1: m = -1, ta có: $y^{\text{'}}=4x^3-12x^2=4x^2(x-3)$.

Bảng xét dấu

Hàm số có 1 cực tiểu duy nhất.

TH2: $m\ne -1$. Ta có: $y^{\text{'}}=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ 2x^2+6mx+3m+3=0(*)\end{array}\right.$.

Để hàm số đã cho chỉ có một cực tiểu thì phương trình (*) không có hai nghiệm phân biệt $\iff {\left(3m\right)}^2-2(3m+3)\le 0\iff \frac{1-\sqrt{7}}{2}\le m\le \frac{1+\sqrt{7}}{2}$.