Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình mx + 4 > 0 nghiệm đúng với mọi |x| < 8.

A. \(m \in \left[ {\frac{{ - 1}}{2};\frac{1}{2}} \right]\)

B. \(m \in \left( { - \infty ;\frac{1}{2}} \right]\)

C. \(m \in \left[ { - \frac{1}{2}; + \infty } \right)\)

D. \(m \in \left[ { - \frac{1}{2};0} \right) \cup \left( {0;\frac{1}{2}} \right]\).

Đáp án đúng là: A

Ta có \(|x| < 8 \Leftrightarrow - 8 < x < 8 \Leftrightarrow x \in ( - 8;8)\)

+) TH1: \(m > 0\), bất phương trình \( \Leftrightarrow mx > - 4\)

\( \Leftrightarrow x > - \frac{4}{m} \Rightarrow S = \left( { - \frac{4}{m}; + \infty } \right)\)

Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow ( - 8;8) \subset S\)

\( \Leftrightarrow - \frac{4}{m} \le - 8 \Leftrightarrow m \le \frac{1}{2}\)

Suy ra \(0 < m \le \frac{1}{2}\) thỏa mãn yêu cầu bài toán

+) TH2: \(m = 0\), bất phương trình trở thành

\(0.x + 4 > 0\): đúng với mọi x

Do đó \(m = 0\) thỏa mãn yêu cầu bài toán

+) TH3: \(m < 0\), bất phương trình \( \Leftrightarrow mx > - 4\)

\( \Leftrightarrow x < - \frac{4}{m} \Rightarrow S = \left( { - \infty ; - \frac{4}{m}} \right)\)

Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow ( - 8;8) \subset S\)

\( \Leftrightarrow - \frac{4}{{\;m}} \ge 8 \Leftrightarrow m \ge - \frac{1}{2}\)

Suy ra \( - \frac{1}{2} \le m < 0\) thỏa mãn yêu cầu bài toán

Kết hợp các trường hợp ta được: \[ - \frac{1}{2} \le m \le \frac{1}{2}\]

Vậy ta chọn đáp án A.