Tìm tập xác định của hàm số $y = \sqrt {\frac{{{x^2} + x + 1}}{{\left| {2x - 1} \right| - x - 2}}} .$

Để hàm số $y = \sqrt {\frac{{{x^2} + x + 1}}{{\left| {2x - 1} \right| - x - 2}}}$ xác định thì $\frac{{{x^2} + x + 1}}{{\left| {2x - 1} \right| - x - 2}} \ge 0.$

Vì ${x^2} + x + 1 = {\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0$ nên ta có

$\frac{{{x^2} + x + 1}}{{\left| {2x - 1} \right| - x - 2}} \ge 0$ ⇔ |2x – 1| − x – 2 > 0

• TH1: Nếu 2x – 1 ≥ 0 ⇔ $x \ge \frac{1}{2}$ ta có |2x – 1| − x – 2 > 0

⇔ 2x – 1 – x – 2 > 0 ⇔ x – 3 > 0 ⇔ x > 3 (thỏa mãn điều kiện)

• TH2: Nếu 2x – 1 < 0 ⇔ $x < \frac{1}{2}$ ta có |2x – 1| − x – 2 > 0

⇔ -2x + 1 – x – 2 > 0 ⇔ -3x – 1 > 0

⇔ $x < - \frac{1}{3}$ (thỏa mãn điều kiện)

Kết hợp hai trường hợp ta có tập nghiệm của của x để hàm số y xác định là:

$D = \left( { - \infty ; - \frac{1}{3}} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right).$