Tìm tập xác định của hàm số \(y = \sqrt {\frac{{{x^2} + x + 1}}{{\left| {2x - 1} \right| - x - 2}}} .\)

Để hàm số \(y = \sqrt {\frac{{{x^2} + x + 1}}{{\left| {2x - 1} \right| - x - 2}}} \) xác định thì \(\frac{{{x^2} + x + 1}}{{\left| {2x - 1} \right| - x - 2}} \ge 0.\)

Vì \({x^2} + x + 1 = {\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0\) nên ta có

\(\frac{{{x^2} + x + 1}}{{\left| {2x - 1} \right| - x - 2}} \ge 0\) ⇔ |2x – 1| − x – 2 > 0

• TH1: Nếu 2x – 1 ≥ 0 ⇔ \(x \ge \frac{1}{2}\) ta có |2x – 1| − x – 2 > 0

⇔ 2x – 1 – x – 2 > 0 ⇔ x – 3 > 0 ⇔ x > 3 (thỏa mãn điều kiện)

• TH2: Nếu 2x – 1 < 0 ⇔ \(x < \frac{1}{2}\) ta có |2x – 1| − x – 2 > 0

⇔ -2x + 1 – x – 2 > 0 ⇔ -3x – 1 > 0

⇔ \(x < - \frac{1}{3}\) (thỏa mãn điều kiện)

Kết hợp hai trường hợp ta có tập nghiệm của của x để hàm số y xác định là:

\(D = \left( { - \infty ; - \frac{1}{3}} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right).\)