Tìm số nguyên tố x, y thỏa mãn x² – 2y² = 1.

Ta có: x² – 2y² = 1 ⇔ x² = 2y² + 1; \({y^2} = \frac{{{x^2} - 1}}{2}\).

Suy ra x² là một số chính phương lẻ, x là số lẻ.

Đặt x = 2k + 1 (k nguyên dương).

Ta có \({y^2} = \frac{{{{\left( {2k + 1} \right)}^2} - 1}}{2} = \frac{{4{k^2} + 4k}}{2} = 2k(k + 1)\)    (*)

Y là một số nguyên tố nên y² sẽ là một số nguyên dương mà có duy nhất 3 ước là {1; y; y²}.

Từ (*) dễ thấy \({y^2} \vdots 2\) và do y là số nguyên tố nên suy ra y = 2 \( \Rightarrow \)k = 1 \( \Rightarrow \) x = 3.

Vậy x = 3 và y = 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán.