Tìm số hạng chứa x trong khai triển  (1+ 2 căn x - 3 căn 3 của x )^4

C. –84x; 

Trả lời

Đáp án đúng là: C

Ta có:  ${\left(1+2\sqrt{x}-3\sqrt[3]{x}\right)}^4=\sum _{k=0}^4{C}_4^k{.1}^{4-k}.{\left(2\sqrt{x}-3\sqrt[3]{x}\right)}^k$

$=\sum _{k=0}^4{C}_4^k.\sum _{m=0}^k{C}_k^m{\left(2\sqrt{x}\right)}^m{\left(-3\sqrt[3]{x}\right)}^{k-m}$

 $=\sum _{k=0}^4{C}_4^k.\sum _{m=0}^k{C}_k^m{.2}^m.x^{\frac{m}{2}}.{\left(-3\right)}^{k-m}{x}^{\frac{k-m}{3}}$  $\left(m\le k\le 4,m\in \mathbb{N}\right)$

$=\sum _{k=0}^4{C}_4^k.\sum _{m=0}^k{C}_k^m{.2}^m.{\left(-3\right)}^{k-m}.x^{\frac{m}{2}+\frac{k-m}{3}}$

Số hạng chứa x trong khai triển là  $x^{\frac{m}{2}+\frac{k-m}{3}}=x$

Khi đó  $\frac{m}{2}+\frac{k-m}{3}=1$ $\iff 3m+2k-2m=6\iff m=6-2k$ 

Mà  $m\le k\le 4$ nên  $6-2k\le k\le 4$   $\Rightarrow k\in \left\{2;3;4\right\}$

Với  $k=2\Rightarrow m=2$

Với  $k=3\Rightarrow m=0$

Với  $k=4\Rightarrow m=-2\left(ktm\right)$

Khi đó hệ số của số hạng chứa x là  $C_4^2{C}_2^2{.2}^2.{\left(-3\right)}^{2-2}+C_4^3{C}_3^0{.2}^0.{\left(-3\right)}^{3-0}=-84$

Vậy số hạng cần tìm là –84x.