Tìm số giá trị nguyên của tham số m ∈ [0; 30] để phương trình 6^x + 2mx = m2^x + 2x.3^x có đúng 3 nghiệm nguyên dương.

6^x + 2mx = m2^x + 2x.3^x (1) ⇔ \({2^x}{.3^x} - 2x{.3^x} = m{.2^x} - 2mx\)

⇔ \({3^x}\left( {{2^x} - 2x} \right) - m\left( {{2^x} - 2x} \right) = 0\) ⇔ \(\left( {{3^x} - m} \right)\left( {{2^x} - 2x} \right) = 0\)

⇔ \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{2^x} - 2x = 0}\\{{3^x} = m\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\)

Xét hàm số g(x) = 2^x – 2x có \(g'\left( x \right) = {2^x}\ln 2 - 2\) ⇒ \(g''\left( x \right) = {\log _2}\left( {\frac{2}{{\ln 2}}} \right) \approx 1,53.\)

Gọi nghiệm đó là x₀.

Hàm số g(x) có bảng biến thiên sau:

Do g(x₀) < 0 do đó g(x) = 0 có hai nghiệm.

Mà g(1) = g(2) = 0 nên x = 1, x = 2 là hai nghiệm của phương trình 2^x – 2x = 0.

Để phương trình (1) có ba nghiệm nguyên dương thì phương trình (2) có một nghiệm nguyên dương khác 1 và 2.

• Với x = 3 ⇒ m = 27.

• Với x = 4 ⇒ m = 81.