Tìm nghiệm nguyên của phương trình x^2 + 5y^2 + 6z^2 + 2xy – 4xz = 10.
Tìm nghiệm nguyên của phương trình x2 + 5y2 + 6z2 + 2xy – 4xz = 10.
Lời giải
x2 + 5y2 + 6z2 + 2xy – 4xz = 10
⇔ x2 + y2 + 4z2 + 2xy – 4xz – 4yz + 4y2 + 4yz + z2 + z2 = 10
⇔ (x + y – 2z)2 + (2y + z)2 + z2 = 10 (1)
Vì x, y, z là các số nguyên nên (x + y – 2z)2, (2y + z)2, z2 là các số chính phương.
Ta có 10 = 0 + 1 + 9.
Trường hợp 1: z2 = 0 ⇔ z = 0.
Khi đó ta có (2y)2 = 1 hoặc (2y2) = 9.
Lúc này không có nghiệm y nguyên vì 2y là số chẵn.
Trường hợp 2: (2y + z)2 = 0 ⇔ z = –2y.
Suy ra z2 = (–2y)2 = 1 hoặc z2 = (–2y)2 = 9.
Tương tự trường hợp 1, ta cũng không có nghiệm y nguyên vì 2y là số chẵn.
Trường hợp 3: (x + y – 2z)2 = 0.
Khi đó phương trình (1) tương đương với: {(x+y−2z)2=0(2y+z)2=1z2=9 hoặc {(x+y−2z)2=0(2y+z)2=9z2=1
⇔{x+y−2z=02y+z=1z=±3 hoặc {x+y−2z=02y+z=9z=±1
⇔{x=7y=−1z=3 hoặc {x=−8y=2z=−3 hoặc {x=−2y=4z=1 hoặc {x=−7y=5z=−1
Vậy (x; y; z) ∈ {(7; –1; 3), (–8; 2; –3), (–2; 4; 1), (–7; 5; –1)}.