Tìm nghiệm âm lớn nhất của phương trình \(\sin x + \cos x = 1 - \frac{1}{2}\sin 2x\).

Phương trình \(\sin x + \cos x = 1 - \frac{1}{2}\sin 2x\) có nghĩa\(\forall \)x ∈ ℝ ⟺ D = ℝ.

Ta có: \(\sin x + \cos x = 1 - \frac{1}{2}\sin 2x\)⟺ sinx + cosx +sinxcosx – 1 = 0 (1)

Đặt t = sinx +cosx, \(\left( {\left| t \right| \le \sqrt 2 } \right)\). Ta có sinxcosx = \(\frac{{{t^2} - 1}}{2}\)

⇒ (1) ⟺ \(t + \frac{{{t^2} - 1}}{2} - 1 = 0 \Leftrightarrow {t^2} + 2t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 1}\\{t = - 3}\end{array}} \right.\)

Do \(\left| t \right| \le \sqrt 2 \)nên t = 1

Với t = 1, ta có t = sinx + cosx = \(\sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 1 \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2} = \sin \frac{\pi }{4}\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} + k2\pi \Leftrightarrow x = k2\pi }\\{x + \frac{\pi }{4} = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi }\end{array}} \right.,k \in \mathbb{Z}\)

Vậy nghiệm âm lớn nhất của phương trình là \(x = - \frac{{3\pi }}{2}\)