Tìm nghiệm âm lớn nhất của phương trình $\sin x + \cos x = 1 - \frac{1}{2}\sin 2x$.

Phương trình $\sin x + \cos x = 1 - \frac{1}{2}\sin 2x$ có nghĩa$\forall$x ∈ ℝ ⟺ D = ℝ.

Ta có: $\sin x + \cos x = 1 - \frac{1}{2}\sin 2x$⟺ sinx + cosx +sinxcosx – 1 = 0 (1)

Đặt t = sinx +cosx, $\left( {\left| t \right| \le \sqrt 2 } \right)$. Ta có sinxcosx = $\frac{{{t^2} - 1}}{2}$

⇒ (1) ⟺ $t + \frac{{{t^2} - 1}}{2} - 1 = 0 \Leftrightarrow {t^2} + 2t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 1}\\{t = - 3}\end{array}} \right.$

Do $\left| t \right| \le \sqrt 2$nên t = 1

Với t = 1, ta có t = sinx + cosx = $\sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 1 \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2} = \sin \frac{\pi }{4}$

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} + k2\pi \Leftrightarrow x = k2\pi }\\{x + \frac{\pi }{4} = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi }\end{array}} \right.,k \in \mathbb{Z}$

Vậy nghiệm âm lớn nhất của phương trình là $x = - \frac{{3\pi }}{2}$