Tìm m nguyên để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên. a) mx+2y=m+1 và 2x+my=2m-1

Trả lời

a) Từ phương trình thứ nhất suy ra 2y = m + 1 – mx  $\Rightarrow y=\frac{m+1-mx}{2}$

Thay vào phương trình thứ hai ta được:

$2x+m\cdot \frac{m+1-mx}{2}=2m-1$

⇔ 4x + m² + m – m²x = 4m – 2

⇔ x(m² – 4) = m² – 3m + 2

⇔ x(m – 2)(m + 2) = (m – 2)(m – 1) (*)

Nếu m = 2 thì (*) ⇔ 0x = 0, phương trình này vô số nghiệm.

Nếu m = -2 thì (*) ⇔ 0x = 12, phương trình này vô nghiệm

Nếu m ≠ 2 và m ≠ -2 thì (*) ⇔  $x=\frac{m-1}{m+2}\Rightarrow y=\frac{m+1-mx}{2}=\frac{2m+1}{m+2}$

Như vậy trong trường hợp này hệ có nghiệm duy nhất:

$\begin{array}{l}x=\frac{m-1}{m+2}=1-\frac{3}{m+2}\\ y=\frac{2m+1}{m+2}=2-\frac{3}{m+2}\end{array}$

Ta cần tìm m ∈ ℤ sao cho x, y ∈ ℤ.

 $\Rightarrow \frac{3}{m+2}\in \mathbb{Z}$ ⇔ m + 2 ∈ {-1, 1, 3, -3} ⇔ m ∈ {-3, -1, 1, -5}

Các giá trị này thỏa mãn m ≠ 2 và m ≠ -2.

Vậy m ∈ {-3, -1, 1, -5}