Tìm m để phương trình cos2x + 2(m + 1)sinx − 2m – 1 = 0 có đúng 3 nghiệm x ∈ (0; π).

Ta có: cos2x + 2(m + 1)sinx – 2m – 1 = 0

⇔ sin² x – (m + 1) sinx + m = 0   (1)

Đặt t = sinx, ta có phương trình:

t² – (m + 1)t + m = 0 (*)

Để phương trình (1) có đúng 3 nghiệm x ∈ (0; π) khi phương trình (*) có hai nghiệm trong đó có 1 nghiệm bằng 1 và 1 nghiệm t ∈ (0; 1)

t₁ = 1 ⇒ sinx = 1 \( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \) ⇒ m ∈ ℝ

t ∈ (0; 1). Theo hệ thức Vi-ét, ta có:

t₁ + t₂ = m + 1 với t₁ = 1 nên t₂ = m.

Vậy 0 < m < 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.