Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm là một đoạn có độ dài bằng 3 trên trục số.

a) \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 2x - 24 \le 0\\5x + 3m + 1 \ge 0\end{array} \right.\).

b) \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 8x + 7 \le 0\\{x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + {m^2} + m \le 0\end{array} \right.\).

Để hệ phương trình có độ dài là một đoạn có độ dài bằng 3. Ta cần tìm một số k sao cho:

k ≤ x ≤ k + 3

a)

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 2x - 24 \le 0\\5x + 3m + 1 \ge 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {x + 6} \right)\left( {x - 4} \right) \le 0\\x \ge \frac{{ - 3m - 1}}{5}\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 6 \le x < 4\\x \ge \frac{{ - 3m - 1}}{5}\end{array} \right. \Rightarrow \frac{{ - 3m - 1}}{5} \le x \le 4\\ \Rightarrow \frac{{ - 3m - 1}}{5} = 1 \Rightarrow m = - 2\end{array}\)

b)

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 8x + 7 \le 0\\{x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + {m^2} + m \le 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {x - 1} \right)\left( {x - 7} \right) \le 0\\\left( {x - m} \right)\left( {x - m - 1} \right) \le 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 \le x \le 7\\m \le x \le m + 1\end{array} \right.\)

Do m ≤ x ≤ m + 1 nên độ dài đoạn thẳng biểu diễn tập nghiệm là 1 nên không tồn tại m thỏa mãn yêu cầu đề bài.