Tìm m để đường thẳng y = mx + 1 cắt đồ thị hàm số $y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}$ tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị.

Phương trình hoành độ giao điểm là: $mx + 1 = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\\left( {mx + 1} \right)\left( {x - 1} \right) = x + 1\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\f\left( x \right) = m{x^2} - mx - 2 = 0\;\left( 1 \right)\end{array} \right.$

Theo hệ thức Vi-et, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 1\\{x_1}{x_2} = \frac{{ - 2}}{m}\end{array} \right.$

Đường thẳng y = mx + 1 cắt đồ thị hàm số $y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}$ tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị thì (1) có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ khác 1 thỏa mãn:

(x₁ − 1)(x₂ − 1) < 0

 $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\\Delta = {m^2} + 8m > 0\\f\left( 1 \right) \ne 0\\{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\\left[ \begin{array}{l}m > 0\\m < - 8\end{array} \right.\\ - 2 \ne 0\\\frac{{ - 2}}{m} - 1 + 1 < 0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 0\\m < - 8\end{array} \right.\\m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 0$