Tìm m để các hàm số sau có tập xác định là ℝ (hay luôn xác định trên ℝ):

a) \[y = f\left( x \right) = \frac{{3x + 1}}{{{x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + {m^2} + 3m + 5}}\].

b) \[\sqrt {{x^2} + 2(m - 1)x + {m^2} + m - 6} \].

c) \[\frac{{3x + 5}}{{\sqrt {{x^2} - 2(m + 3)x + m + 9} }}\].

Lời giải

a) x² + 2(m − 1) x + m² + 3m + 5

Ta có ∆' = (m − 1)² – (m² + 3m + 5) < 0

⇔ −5m – 4 < 0 ⇔ \[m > - \frac{4}{5}\].

b) x² + 2 (m − 1) x + m² + m − 6 > 0.

Ta có ∆' = (m − 1)² – (m² + m − 6) ≤ 0

⇔ −3m + 7 ≤ 0 ⇔ \[m > \frac{7}{3}\].

c) 2(m + 3)x + m + 9 > 0

Ta có ∆' = (m + 3)² − (m + 9) < 0

⇔ m² + 5m < 0 ⇔ −5 < m < 0.