Tìm GTNN, GTLN của A = $\frac{x^2+1}{x^2-x+1}$ .

Nhận xét: x² – x + 1 = ${\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}>0$  do vậy A luôn xác định

Ta có: A =  $\frac{x^2+1}{x^2-x+1}$

⇔ A(x² – x + 1) = x² + 1

⇔ x²(A – 1) – x.A + (A – 1) = 0

Tìm GTLN, GTNN tức là tồn tại giá trị x thỏa mãn min A và max A

Vậy thì điều kiện cần là phương trình trên có nghiệm, tức là:

∆ = A² – 4(A – 1)(A – 1) = A² – 4(A² – 2A + 1) = –3A² + 8A – 4 ≥ 0

⇔ – (3A² – 2A) + (6A – 4) ≥ 0

⇔ – A(3A – 2) + 2(3A – 2) ≥ 0

⇔ (3A – 2)(2 – A) ≥ 0

⇔ $\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}3A-2\ge 0\\ 2-A\ge 0\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}3A-2\le 0\\ 2-A\le 0\end{array}\right.\end{array}\right.$

⇔ $\left[\begin{array}{l}\frac{2}{3}\le A\le 2\\ \left\{\begin{array}{l}A\le \frac{2}{3}\\ A\ge 2\end{array}\right.\end{array}\right.$

Vậy $\frac{2}{3}\le A\le 2$  hay GTNN của A là $\frac{2}{3}$ khi x = – 1.

GTLN của A là 2 khi x = 1.