Tìm GTNN của biểu thức C = x^2 – 4xy + 5y^2 + 10x – 22y + 28

Trả lời

C = x² – 4xy + 5y² + 10x – 22y + 28

= (x² – 4xy + 4y²) + (10x – 20y) + (y² – 2y + 1) + 27

= (x – 2y)² + 10(x – 2y) + (y – 1)² + 27

= (x – 2y)² + 2. (x – 2y). 5 + 5² + (y – 1)² + 2

= (x – 2y + 5)² + (y – 1)² + 2

Vì (x – 2y + 5)² ≥ 0 với mọi x; y ∈ ℝ.

Và (y – 1)² ≥ 0 với mọi y ∈ ℝ.

Nên (x – 2y + 5)² + (y – 1)² + 2 ≥ 2 với mọi x; y ∈ ℝ.

Hay C ≥ 2 với mọi x; y ∈ ℝ.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

$\iff \left\{\begin{array}{l}x-2y+5=0\\ y-1=0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x=2y-5\\ y=1\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x=-3\\ y=1\end{array}\right.$

Vậy C_min = 2 khi x = −3 và y = 1.