Tìm GTNN: a) A = x^2 − xy + y^2 − 3x − 3y; b) B = 2x^2 + 2xy + 5y^2 − 8x − 22y.
Tìm GTNN:
a) A = x2 − xy + y2 − 3x − 3y;
b) B = 2x2 + 2xy + 5y2 − 8x − 22y.
Lời giải
a) Ta có A = x2 − xy + y2 − 3x − 3y
Þ 4A = 4x2 − 4xy + 4y2 − 12x − 12y
= (x2 + 4y2 + 9 − 4xy + 6x − 12y) + (3x2 − 18x + 27) − 36
= (x − 2y + 3)2 + 3(x − 3)2 − 36 ≥ −36
Þ A ≥ −9.
Vậy A đạt GTNN bằng −9 khi và chỉ khi
\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + 3 = 0\\x - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = 3\).
b) Ta có B = 2x2 + 2xy + 5y2 − 8x − 22y
Þ 2B = 4x2 + 4xy + 10y2 − 16x − 44y
= (4x2 + y2 + 16 + 4xy − 16x − 8y) + (9y2 − 36y + 36) − 52
= (2x + y − 4)2 + 9(y − 2)2 − 52 ≥ −52
Þ B ≥ −26.
Vậy B đạt GTNN bằng −26 khi và chỉ khi
\(\left\{ \begin{array}{l}2x + y - 4 = 0\\y - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\end{array} \right.\).