Tìm GTNN: a) A = x^2 − xy + y^2 − 3x − 3y; b) B = 2x^2 + 2xy + 5y^2 − 8x − 22y.

Tìm GTNN:

a) A = x2xy + y23x3y;

b) B = 2x2 + 2xy + 5y2 − 8x − 22y.

Trả lời

Lời giải

a) Ta có A = x2xy + y23x3y

Þ 4A = 4x2 − 4xy + 4y212x12y

= (x2 + 4y2 + 9 − 4xy + 6x12y) + (3x2 − 18x + 27) − 36

= (x − 2y + 3)2 + 3(x − 3)2 − 36 ≥ −36

Þ A ≥ −9.

Vậy A đạt GTNN bằng −9 khi và chỉ khi

\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + 3 = 0\\x - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = 3\).

b) Ta có B = 2x2 + 2xy + 5y2 − 8x − 22y

Þ 2B = 4x2 + 4xy + 10y2 − 16x − 44y

= (4x2 + y2 + 16 + 4xy − 16x − 8y) + (9y2 − 36y + 36) − 52

= (2x + y − 4)2 + 9(y − 2)2 − 52 ≥ −52

Þ B ≥ −26.

Vậy B đạt GTNN bằng −26 khi và chỉ khi

\(\left\{ \begin{array}{l}2x + y - 4 = 0\\y - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\end{array} \right.\).

Câu hỏi cùng chủ đề

Xem tất cả