Tìm GTLN, GTNN của hàm số \(y = \frac{{2\sin x + \cos x + 3}}{{2\cos x - \sin x + 4}}\).

Tập xác định: 2cosx – sinx + 4 ≠ 0

Suy ra: x ∈ ℝ

Khi đó: y(2cosx – sinx + 4) = 2sinx + cosx + 3

⇔ (2y – 1)cosx – (y + 2)sinx = 3 – 4y (*)

Để (*) có nghiệm thì:

(3 – 4y)² ≤ (2y – 1)² + [–(y + 2)]²

⇔ \(\frac{2}{{11}} \le y \le 2\)

Từ đó suy ra: y_max = 2; y_min = \(\frac{2}{{11}}\).