Tìm GTLN, GTNN của biểu thức P = $\frac{x^2-8x+7}{x^2+1}$ .

P + 1 = $\frac{x^2-8x+7}{x^2+1}+1=\frac{x^2-8x+7+x^2+1}{x^2+1}=\frac{2x^2-8x+8}{x^2+1}$

$=\frac{2\left(x^2-4x+4\right)}{x^2+1}=\frac{2{\left(x-2\right)}^2}{x^2+1}$

Ta thấy: $\frac{2{\left(x-2\right)}^2}{x^2+1}$  ≥ 0 với mọi x nên P + 1 ≥ 0 với mọi x

Hay P ≥ -1 với mọi x

Vậy GTNN của P là – 1 khi x – 2 = 0 hay x = 2

Lại có:

P – 9 = $\frac{x^2-8x+7}{x^2+1}-9=\frac{x^2-8x+7-9x^2-9}{x^2+1}=\frac{-8x^2-8x-2}{x^2+1}$

$=\frac{-2\left(4x^2+4x+1\right)}{x^2+1}=\frac{-2{\left(2x+1\right)}^2}{x^2+1}$

$\frac{{\left(2x+1\right)}^2}{x^2+1}$≥ 0 với mọi x nên  $\frac{-2{\left(2x+1\right)}^2}{x^2+1}$≤ 0 với mọi x

Suy ra: P – 9 ≤ 0 với mọi x hay P ≤ 9, với mọi x

Vậy GTLN của P là 9 khi 2x + 1 = 0 hay x = $\frac{-1}{2}$ .