Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn x³ + 2x² + 3x + 2 = y³.

Ta có:

\(\begin{array}{l}2{x^2} + 3x + 2 = 2\left( {{x^2} + \frac{3}{2}x + 1} \right) = 2\left( {{x^2} + 2 \cdot x \cdot \frac{3}{4} + \frac{9}{{16}} + \frac{7}{{16}}} \right)\\ = 2\left[ {{{\left( {x + \frac{3}{4}} \right)}^2} + \frac{7}{{16}}} \right] = 2{\left( {x + \frac{3}{4}} \right)^2} + \frac{7}{8}\end{array}\)

Vì \(2{\left( {x + \frac{3}{4}} \right)^2} \ge 0;\forall x\)

Nên \(2{\left( {x + \frac{3}{4}} \right)^2} + \frac{7}{8} > 0;\forall x\)

Mà x³ + 2x² + 3x + 2 = y³

Suy ra x³ < y³

Giả sử y³ < (x + 2)³

⇔ x³ + 2x² + 3x + 2 < x³ + 6x² + 12x + 8

⇔ – 4x² – 9x – 6 < 0

⇔ 4x² + 9x + 6 > 0

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4{x^2} + 9x + 6 > 0\\ \Leftrightarrow 4\left( {{x^2} + \frac{9}{4}x + \frac{{81}}{{64}}} \right) + \frac{{15}}{{16}} > 0\\ \Leftrightarrow 4\left( {{x^2} + 2 \cdot x \cdot \frac{9}{8} + \frac{{81}}{{64}}} \right) + \frac{{15}}{{16}} > 0\\ \Leftrightarrow 4{\left( {x + \frac{9}{8}} \right)^2} + \frac{{15}}{{16}} > 0{\rm{ }}\end{array}\) (luôn đúng)

Do đó y³ < (x + 2)³

Mà x³ < y³

Nên x³ < y³ < (x + 2)³

Lại có y³ là lập phương của một số nguyên, giữa x³ và (x + 2)³ chỉ có 1 số lập phương duy nhất là (x + 1)³

Do đó y ³ = (x + 1)³

⇔ x³ + 2x² + 3x + 2 = x³ + 3x² + 3x + 1

⇔ x² – 1 = 0

⇔ (x – 1)(x + 1) = 0

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x + 1 = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{y^3} = 1 + 2 + 3 + 2 = 8\\{y^3} = - 1 + 2 - 3 + 2 = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 2\\y = 0\end{array} \right.\)

Vậy (x; y) = (1; 2) hoặc (x; y) = (–1; 0).