Tìm các số không âm x,y sao cho biểu thức A đạt giá trị nhỏ nhất

\[{\rm{A}} = x + y - \sqrt {x - 3} .\sqrt {y - 2021} \]

Lời giải

Điều kiện xác định: x ≥ 3, y ≥ 2021

Ta có:

 \[{\rm{A}} = x + y - \sqrt {x - 3} .\sqrt {y - 2021} \]

\[{\rm{A}} = (x - 3) - 2.\sqrt {x - 3} .\frac{1}{2}\sqrt {y - 2021} + \frac{1}{4}(y - 2021) + \frac{3}{4}(y - 2021) + 2024\]

\[{\rm{A}} = {(\sqrt {x - 3} - \frac{1}{2}\sqrt {y - 2021} )^2} + \frac{3}{4}(y - 2021) + 2024\]

Vì \({\left( {\sqrt {x - 3} - \frac{1}{2}\sqrt {y - 2021} } \right)^2} \ge 0\), \(\frac{3}{4}(y - 2021) \ge 0\)

Nên \[{(\sqrt {x - 3} - \frac{1}{2}\sqrt {y - 2021} )^2} + \frac{3}{4}(y - 2021) + 2024 \ge 2024\]

Hay A ≥ 2024

Dấu “ =” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}y - 2021 = 0\\\sqrt {x - 3} - \frac{1}{2}\sqrt {y - 2021} = 0\end{array} \right.\)

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}y = 2021\\\sqrt {x - 3} - \frac{1}{2}\sqrt {y - 2021} = 0\end{array} \right.\)

Nên \(\left\{ \begin{array}{l}y = 2021\\x = 3\end{array} \right.\) (thỏa mãn)

Vậy biểu thức A đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2024 khi x = 3, y = 2021.