Tìm các số không âm x,y sao cho biểu thức A đạt giá trị nhỏ nhất

${\rm{A}} = x + y - \sqrt {x - 3} .\sqrt {y - 2021}$

Lời giải

Điều kiện xác định: x ≥ 3, y ≥ 2021

Ta có:

 ${\rm{A}} = x + y - \sqrt {x - 3} .\sqrt {y - 2021}$

${\rm{A}} = (x - 3) - 2.\sqrt {x - 3} .\frac{1}{2}\sqrt {y - 2021} + \frac{1}{4}(y - 2021) + \frac{3}{4}(y - 2021) + 2024$

${\rm{A}} = {(\sqrt {x - 3} - \frac{1}{2}\sqrt {y - 2021} )^2} + \frac{3}{4}(y - 2021) + 2024$

Vì ${\left( {\sqrt {x - 3} - \frac{1}{2}\sqrt {y - 2021} } \right)^2} \ge 0$, $\frac{3}{4}(y - 2021) \ge 0$

Nên ${(\sqrt {x - 3} - \frac{1}{2}\sqrt {y - 2021} )^2} + \frac{3}{4}(y - 2021) + 2024 \ge 2024$

Hay A ≥ 2024

Dấu “ =” xảy ra khi $\left\{ \begin{array}{l}y - 2021 = 0\\\sqrt {x - 3} - \frac{1}{2}\sqrt {y - 2021} = 0\end{array} \right.$

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}y = 2021\\\sqrt {x - 3} - \frac{1}{2}\sqrt {y - 2021} = 0\end{array} \right.$

Nên $\left\{ \begin{array}{l}y = 2021\\x = 3\end{array} \right.$ (thỏa mãn)

Vậy biểu thức A đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2024 khi x = 3, y = 2021.