Tất cả điều kiện của tham số thực m sao cho đồ thị hàm số  $y=\frac{x-1}{x^3+3x^2+m+1}$ có đúng 1 tiệm cận đứng là:

Đáp án đúng là: B

Đồ thị hàm số có đúng 1 tiệm cận đứng khi:

TH1: x³ + 3x² + m + 1 = 0 có đúng 1 nghiệm khác 1

Xét x³ + 3x² + m + 1 = 0 ⇔ x³ + 3x² + 1 = –m, nghiệm khác 1 khi m ≠ –5

Phương trình x³ + 3x² + 1 có đúng 1 nghiệm khi  $\left[\begin{array}{l}-m>5\\ -m<1\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}m<-5\\ m>-1\end{array}\right.$

Vậy  $\left[\begin{array}{l}m<-5\\ m>-1\end{array}\right.$ thì đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng (1)

TH2: x³ + 3x² + m + 1 = 0 (*) có 2 nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm bằng 1.

Thay x = 1 vào (*) được m = –5. Khi đó phương trình (*) trở thành:

x³ + 3x² – 4 = 0  $\iff \left[\begin{array}{l}x=1\\ x=-2\end{array}\right.$ thỏa mãn

Vậy m = –5 thỏa mãn (2).

Từ (1) và (2) suy ra m ∈ (–∞; –5] ∪ (–1; +∞)