Tam giác đều cạnh a nội tiếp trong đường tròn bán kính R. Khi đó bán kính R bằng bao nhiêu?

Xét tam giác ABC đều cạnh a và gọi M là trung điểm của BC.

Ta có: AM ⏊ BC.

Suy ra diện tích tam giác ABC là:

${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AM\,.\,BC = \frac{1}{2}\sqrt {A{B^2} - B{M^2}} \,.\,BC = \frac{1}{2}\sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} \,.\,a = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}$.

Mà ta có ${S_{\Delta ABC}} = \frac{{AB\,.\,BC\,.\,CA}}{{4R}}$.

Vậy bán kính cần tìm là: $R = \frac{{AB\,.\,BC\,.\,CA}}{{4{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{{a\,.\,a\,.\,a}}{{4\,.\,\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.