Số nghiệm của phương trình 2tanx – 2cotx – 3 = 0 trong khoảng $\left( { - \frac{\pi }{2};\pi } \right)$ là:

A. 2;

B. 1;

C. 4;

D. 3.

Đáp án đúng là: D

Điều kiện $\left\{ \begin{array}{l}\sin x \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}$ (k ∈ ℤ).

Ta có: 2tanx – 2cotx – 3 = 0

⇔ $2\tan x - 2\frac{1}{{{\mathop{\rm t}\nolimits} anx}} - 3 = 0$

⇔ 2tan²x – 3tanx – 2 = 0

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = 2\\\tan x = \frac{{ - 1}}{2}\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \arctan 2 + k\pi \\x = arc\tan \left( {\frac{{ - 1}}{2}} \right) + k\pi \end{array} \right.$(k ∈ ℤ)

+) x = arctan2 + kπ (k ∈ ℤ).

Khi đó $- \frac{\pi }{2} < \arctan 2 + k\pi < \pi$

$\Leftrightarrow \frac{{ - \frac{\pi }{2} - \arctan 2}}{\pi } < k < \frac{{\pi - \arctan 2}}{\pi }$

$\Rightarrow$−0,85 < k < 0,65

$\Rightarrow$k = 0 ( do k ∈ ℤ)

$\Rightarrow$x = arctan2.

+) $x = \arctan \left( { - \frac{1}{2}} \right) + k\pi$( k ∈ ℤ)

Khi đó $- \frac{\pi }{2} < \arctan \left( { - \frac{1}{2}} \right) + k\pi < \pi$

$\Leftrightarrow \frac{{ - \frac{\pi }{2} - \arctan \left( { - \frac{1}{2}} \right)}}{\pi } < k < \frac{{\pi - \arctan \left( { - \frac{1}{2}} \right)}}{\pi }$

$\Rightarrow$−0,35 < k < 1,15

$\Rightarrow$k ∈ {0; 1}

$\Rightarrow x \in \left\{ {\arctan \left( { - \frac{1}{2}} \right);\arctan \left( { - \frac{1}{2}} \right) + \pi } \right\}$

Kết hợp với điều kiện ta suy ra phương trình có 3 nghiệm là x = arctan2; $\arctan \left( { - \frac{1}{2}} \right)$ và $\arctan \left( { - \frac{1}{2}} \right) + \pi$.