Số hạng nào chứa x với số mũ tự nhiên trong khai triển sau:

a) ${\left(\sqrt[4]{x}+x\right)}^{10}$

a) ${\left(\sqrt[4]{x}+x\right)}^{10}=\sum _{k=0}^{10}{C}_{10}^k.{\sqrt[4]{x}}^k.x^{10-k}$

$$\begin{gathered} =\sum _{k=0}^{10}{C}_{10}^k.x^{\frac{k}{4}}.x^{10-k}=\sum _{k=0}^{10}{C}_{10}^k.x^{\frac{k}{4}+10-k} \\ =\sum _{k=0}^{10}{C}_{10}^k.x^{10-\frac{3k}{4}} \end{gathered}$$

Để số hạng chứa x có số mũ tự nhiên thì $10-\frac{3k}{4}\in \mathbb{N}\left(0\le k\le 10\right)$

Và $0<10-\frac{3k}{4}\le 10$

$\Rightarrow k\in U\left(4\right)=\left\{0;4;8\right\}$

Vậy số hạng chứa x với số mũ tự nhiên trong khai triển sau: $C_{10}^0{x}^{10},C_{10}^4{x}^7,C_{10}^8{x}^4$