Số hạng không chứa x trong khai triển của \({\left( {x\sqrt x + \frac{1}{{{x^4}}}} \right)^n}\) với x > 0, nếu biết rằng \({\rm{C}}_n^2 - {\rm{C}}_n^1 = 44\)
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Ta có \({\rm{C}}_n^2 - {\rm{C}}_n^1 = 44\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} - n = 44\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 11\\n = - 8\,\,\,\left( {loai} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Với n = 11 số hạng thứ k + 1 trong khai triển nhị thức \({\left( {x\sqrt x + \frac{1}{{{x^4}}}} \right)^{11}}\) là :
\(C_{11}^k{\left( {x\sqrt x } \right)^{11 - k}}{\left( {\frac{1}{{{x^4}}}} \right)^k} = C_{11}^k{x^{\frac{{33}}{2} - \frac{{11}}{2}k}}\)
Theo giả thiết ta có: \(\frac{{33}}{2} - \frac{{11}}{2}{\rm{k = 0}}\)
Suy ra k = 3
Do đó số hạng không chứa x trong khai triển đã cho là \({\rm{C}}_{11}^3 = 165\)
Vậy ta chọn đáp án A.