Phương trình 4sin²2x – 3sin2x.cos2x – cos²2x = 0 có bao nhiêu nghiệm trong khoảng (0; π)?

Ta có 4sin²2x – 3sin2x.cos2x – cos²2x = 0   (1)

Trường hợp 1: cos2x = 0.

Phương trình (1) tương đương với: 4sin²2x = 0.

⇔ sin2x = 0 (loại vì cos2x = 0).

Trường hợp 2: cos2x ≠ 0.

Chia hai vế của phương trình (1) cho cos²2x, ta được: 4tan²2x – 3tan2x – 1 = 0.

$\iff \left[\begin{array}{l}\tan 2x=1\\ \tan 2x=-\frac{1}{4}\end{array}\right.$.

$\iff \left[\begin{array}{l}2x=\frac{\pi }{4}+k\pi \\ 2x=\text{arctan}\left(-\frac{1}{4}\right)+k\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{8}+k\frac{\pi }{2}\\ x=\frac{1}{2}\text{arctan}\left(-\frac{1}{4}\right)+k\frac{\pi }{2}\end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

So với điều kiện cos2x ≠ 0, ta nhận $x=\frac{\pi }{8}+k\frac{\pi }{2};x=\frac{1}{2}\text{arctan}\left(-\frac{1}{4}\right)+k\frac{\pi }{2}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

• Vì x ∈ (0; π) nên $0<\frac{\pi }{8}+k\frac{\pi }{2}<\pi$

$\iff -\frac{\pi }{8}<k\frac{\pi }{2}<\frac{7\pi }{8}$.

$\iff -\frac{1}{4}<k<\frac{7}{4}$

Mà k ∈ ℤ, suy ra k ∈ {0; 1}.

Do đó $x=\frac{\pi }{8};x=\frac{5\pi }{8}$  .

• Vì x ∈ (0; π) nên .

$\iff -\frac{1}{2}\text{arctan}\left(-\frac{1}{4}\right)<k\frac{\pi }{2}<\pi -\frac{1}{2}\text{arctan}\left(-\frac{1}{4}\right)$.

$\iff -\frac{1}{\pi }\text{arctan}\left(-\frac{1}{4}\right)<k<2-\frac{1}{\pi }\text{arctan}\left(-\frac{1}{4}\right)$.

Mà k ∈ ℤ.

Suy ra k ∈ {1; 2}.

Do đó $x=\frac{1}{2}\text{arctan}\left(-\frac{1}{4}\right);x=\frac{1}{2}\text{arctan}\left(-\frac{1}{4}\right)+\frac{\pi }{2}$ .

Vậy trong (0; π), phương trình đã cho có nghiệm là: $x=\frac{\pi }{8};x=\frac{5\pi }{8};$  $x=\frac{1}{2}\text{arctan}\left(-\frac{1}{4}\right);x=\frac{1}{2}\text{arctan}\left(-\frac{1}{4}\right)+\frac{\pi }{2}$ .

Do đó ta chọn phương án D.