Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
B = 2(x4 + y4 + z4) – (x2 + y2 + z2)2 – 2(x2 + y2 + z2)(x + y + z)2 + (x + y + z)4.
Lời giải
Đặt x4 + y4 + z4 = a; x2 + y2 + z2 = b; x + y + z = c.
Khi đó 2(x4 + y4 + z4) – (x2 + y2 + z2)2 – 2(x2 + y2 + z2)(x + y + z)2 + (x + y + z)4
= 2a – b2 –2bc2 + c4
= 2a – 2b2 + b2 – 2bc2 + c4
= 2(a – b2) + (b + c2)2.
Ta có 2(a – b2) = 2[x4 + y4 + z4 – (x2 + y2 + z2)2]
= 2[x4 + y4 + z4 – x4 – y4 – z4 – 2x2y2 – 2y2z2 – 2z2x2]
= 2 . (–2)(x2y2 + y2z2 + z2x2)
= – 4(x2y2 + y2z2 + z2x2).
Lại có (b + c2)2 = [(x2 + y2 + z2) + (x + y + z)2]2
= [(x2 + y2 + z2) – (x2 + y2 + z2) – 2(xy + yz + zx)]2
= 4(xy + yz + zx)2
Suy ra 2(a – b2) + (b + c2)2
= – 4(x2y2 + y2z2 + z2x2) + 4(xy + yz + zx)2
= 8xyz(x + y + z).