Một tòa nhà có chiều cao của các tầng là như nhau. Một chiếc thang máy di chuyển từ tầng 15 lên tầng 22 của tòa nhà, sau đó di chuyển từ tầng 22 lần tầng 29. Các vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của thang máy trong hai lần di chuyển có bằng nhau không? Giải thích vì sao.

Thang cuốn tại các trung tâm thương mại, siêu thị lớn hay nhà ga, sân bay thường có hai làn, trong đó có một làn lên và một làn xuống. Khi thang cuốn chuyển động, vectơ biểu diễn vận tốc của mỗi làn có là hai vectơ đối nhau hay không? Giải thích vì sao.

Cho hình chóp S.ABC. Trên cạnh SA, lấy điểm M sao cho SM = 2AM. Trên cạnh BC, lấy điểm N sao cho CN = 2BN. Chứng minh rằng $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{BC}\right)+\overrightarrow{AB}$.

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh $\overrightarrow{B{B}^{\text{'}}}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{B{D}^{\text{'}}}$.

Ở lớp 10, ta đã biết về vectơ trong mặt phẳng và biết sử dụng vectơ để biểu thị các đại lượng có hướng và độ lớn trong mặt phẳng, ví dụ như vận tốc hay lực. Đối với các đại lượng có hướng trong không gian, ta có thể sử dụng vectơ để biểu diễn chúng hay không? Các phép toán vectơ trong trường hợp này giống và khác như thế nào với các phép toán vectơ trong mặt phẳng?

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' (H.2.7).

a) So sánh độ dài của hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{D^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$ .

Nếu hai vectơ cùng bằng một vectơ thứ ba thì hai vectơ đó có bằng nhau không?

Trong không gian, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ không cùng phương. Lấy điểm A và vẽ các vectơ $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a} ,\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b}$. Lấy điểm A' khác A và vẽ các vectơ $\overrightarrow{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\overrightarrow{b}$ (H.2.10).

a) Giải thích vì sao $\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}=\overrightarrow{B{B}^{\text{'}}}$ và $\overrightarrow{B{B}^{\text{'}}}=\overrightarrow{C{C}^{\text{'}}}$.

Hình 2.15 mô tả một lọ hoa được đặt trên bàn, trọng lượng của lọ hoa tạo nên một lực tác dụng lên mặt bàn và một phản lực từ mặt bàn lên lọ hoa. Có nhận xét gì về độ dài và hướng của các vectơ biểu diễn hai lực đó?

Trong Hình 2.2, lực căng dây (được tạo ra bởi sức nặng của kiện hàng) được thể hiện bởi các đoạn thẳng có mũi tên màu đỏ.

a) Các đoạn thẳng này cho biết gì về hướng và độ lớn của các lực căng dây?

b) Gọi M là một điểm thuộc cạnh AD. Xác định điểm N sao cho $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AB}$.

Trong Hình 2.14, hãy phát biểu quy tắc hình hộp với các vectơ có điểm đầu là B.

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng $\overrightarrow{A^{\text{'}}C}\cdot \overrightarrow{B^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}=0$

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' (H.2.6). Trong các vectơ $\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{A{D}^{\text{'}}}$ :

a) Hai vectơ nào có giá cùng nằm trong mặt phẳng (ABCD)?

b) Nhận xét về giá của hai vectơ  $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{D^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$  .

b) Giải thích vì sao AA'C'C là hình bình hành, từ đó suy ra $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$.