khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân có cạnh huyền BC = a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (ABC) bằng 45°. Thể tích của hình chóp S.ABC là:

A. $V_{S.ABC}=\frac{a^3}{24}$ ;

Đáp án đúng là: A

Gọi M là trung điểm của BC

Suy ra $\left\{\begin{array}{l}BC\perp AM\\ BC\perp SA\end{array}\right.\Rightarrow BC\perp SM$

Ta có: $\left(\left(\text{SBC}\right),\left(\text{SAM}\right)\right)=\left(SM,\text{AM}\right)=\widehat{\text{SMA}}=45°$$\Rightarrow \text{SA}=\text{AM}=\frac{\text{BC}}{2}=\frac{\text{a}}{2}$

Ta có:   $\text{AB}=\text{AC}=\frac{\text{BC}}{\sqrt{2}}=\frac{\text{a}\sqrt{2}}{2}$$\Rightarrow {\text{S}}_{\text{ABC}}=\frac{1}{2}\text{AB}\cdot \text{AC}=\frac{1}{2}.\frac{\text{a}\sqrt{2}}{2}.\frac{\text{a}\sqrt{2}}{2}=\frac{{\text{a}}^2}{4}$

Suy ra: ${\text{V}}_{\text{S.ABC}}=\frac{1}{3}\cdot \frac{\text{a}}{2}\cdot \frac{{\text{a}}^2}{4}=\frac{{\text{a}}^3}{24}$

Vậy ta chọn đáp án A.