Hỏi có bao nhiêu giá trị m nguyên trong đoạn [−2017; 2017] để phương trình logmx = 2log(x + 1) có nghiệm duy nhất?

A. 2017;

B. 4014;

C. 2018;

D. 4015.

Đáp án đúng là: C

ĐK: x > −1; mx > 0

log(mx) = 2log(x + 1)

⇔ mx = (x + 1)²

⇔ x² + (2 – m)x + 1 = 0

∆ = m² – 4m + 4 – 4 = m² – 4m

Để phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thì có 2 trường hợp:

• TH1: Phương trình trên có nghiệm duy nhất:

m² = 4m \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 4\end{array} \right.\).

Tuy nhiên giá trị m = 0 loại do khi đó nghiệm là x = −1.

• TH2: Phương trình trên có 2 nghiệm thỏa mãn: x₁ ≤ −1 < x₂

Nếu có x₁ = −1 ⇒ 1 – (2 – m) + 1 = 0 ⇔ m = 0 (vô lý)

x₁ < −1 < x₂ ⇒ (x₁ + 1)(x₂ + 1) < 0

⇔ x₁x₂ + x₁ + x₂ + 1 < 0

⇒ 1 + m – 2 + 1 < 0

⇔ m < 0

Như vậy sẽ có giá trị −2017; −2016; …; −1 và 4.

Vậy có 2018 giá trị.