Hỏi có bao nhiêu giá trị m nguyên trong [-2017; 2017] để phương trình log(mx) = 2.log(x + 1) có nghiệm duy nhất?

log(mx) = 2.log(x + 1) ⇔ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge - 1}\\{mx = {{\left( {x + 1} \right)}^2}}\end{array}} \right.$ (1)

Ta thấy x = 0 không phải nghiệm của (1).

Khi đó (1) ⇔ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge - 1}\\{m = \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{x} = x + \frac{1}{x} + 2}\end{array}} \right.$ (2)

Xét hàm số $f\left( x \right) = x + \frac{1}{x} + 2,$ x ∈ (-1; +∞) \ {0} có

$f'\left( x \right) = 1 - \frac{1}{{{x^2}}} = 0$ ⇔ $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x = - 1\left( L \right)}\end{array}} \right.$

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biên thiên, ta có: phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất 

⇔ $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m < 0}\\{m = 4}\end{array}} \right.$

Mà m ∈ ℤ, m ∈ [−2017; 2017]

⇒ m ∈ {−2017; −2016; ...; −1} ∪ {4}

⇒ Có 2018 giá trị của m thỏa mãn.