Gọi $x_0,y_0,z_0$  là ba số thực dương sao cho biểu thức $P=\frac{3}{2x+y+\sqrt{8yz}}-\frac{8}{\sqrt{2(x^2+y^2+z^2)+4xz}+3}-\frac{1}{x+y+z}$

 đạt giá trị nhỏ nhất.

Tổng $x_0+y_0+z_0$   bằng

Hướng dẫn giải

Ta có $P=\frac{3}{2x+y+2\sqrt{2yz}}-\frac{8}{\sqrt{2y^2+2{(x+z)}^2}+3}-\frac{1}{x+y+z}$

$\ge \frac{3}{2(x+y+z)}-\frac{8}{(x+y+z)+3}-\frac{1}{x+y+z}$.

Đặt $x+y+z=t>0$ . Khi đó  $P=f\left(t\right)=\frac{1}{2t}-\frac{8}{t+3},(t>0)$.

Ta có $f^{\text{'}}\left(t\right)=\frac{3(t-1)(5t+3)}{2t^2{(t+3)}^2}=0\iff t=1$  .

Bảng biến thiên

Suy ra $P\ge -\frac{3}{2}$ . Dấu “=” xảy ra $\iff \left\{\begin{array}{l}x+y+z=1\\ y=2z\\ y=x+z\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=z=\frac{1}{4}\\ y=\frac{1}{2}\end{array}\right.$ .

Do đó $x_0+y_0+z_0=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=1.$  Chọn B.