Mặt khác $f\left(1\right)=\frac{2m+1}{2};f\left(2\right)=\frac{3m+4}{3}$

Do đó $\underset{\left[1;2\right]}{\max }y=\max \left\{\left|\frac{2m+1}{2}\right|;\left|\frac{3m+4}{3}\right|\right\}$

- Trường hợp 1: $\underset{\left[1;2\right]}{\max }y=\left|\frac{2m+1}{2}\right|=2\to \left[\begin{array}{l}m=\frac{3}{2}\\ m=-\frac{5}{2}\end{array}\right.$

+) Với $m=\frac{3}{2}\Rightarrow \left|\frac{3m+4}{3}\right|=\frac{17}{6}>2$  (loại)

+) Với $m=-\frac{5}{2}\Rightarrow \left|\frac{3m+4}{3}\right|=\frac{7}{6}<2$  (thỏa mãn)

- Trường hợp 2: $\underset{\left[1;2\right]}{\max }y=\left|\frac{3m+4}{3}\right|=2\iff \left[\begin{array}{l}m=\frac{2}{3}\\ m=-\frac{10}{3}\end{array}\right.$

+) Với $m=\frac{2}{3}\Rightarrow \left|\frac{2m+1}{2}\right|=\frac{7}{6}<2$  (thỏa mãn)

+) Với $m=-\frac{10}{3}\Rightarrow \left|\frac{2m+1}{2}\right|=\frac{17}{6}>2$  (loại)

Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn.