Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của m để hàm số y = x³ – 3(2m + 1)x² + (12m + 5)x + 2 đồng biến trên khoảng (2; +∞). Số phần tử của S bằng

A. 2

B. 3

C. 0

D. 1.

Đáp án đúng là: C

Tập xác định D = ℝ

Ta có: y’ = 3x² – 6(2m + 1)x + 12m + 5

Hàm số đồng biến trên khoảng (2; +∞) khi y’ ≥ 0 với mọi x ∈ (2; +∞)

⇔ 3x² – 6(2m + 1)x + 12m + 5 ≥ 0 với mọi x ∈ (2; +∞)

⇔ 3x² – 12mx – 6x + 12m + 5 ≥ 0 với mọi x ∈ (2; +∞)

$\Leftrightarrow m \le \frac{{3{{\rm{x}}^2} - 6{\rm{x}} + 5}}{{12\left( {{\rm{x}} - 1} \right)}}$ với mọi x ∈ (2; +∞)

Xét hàm số $g\left( {\rm{x}} \right) = \frac{{3{{\rm{x}}^2} - 6{\rm{x}} + 5}}{{12\left( {{\rm{x}} - 1} \right)}}$ với mọi x ∈ (2; +∞)

$g'\left( {\rm{x}} \right) = \frac{{3{{\rm{x}}^2} - 6{\rm{x}} + 1}}{{12{{\left( {{\rm{x}} - 1} \right)}^2}}} > 0$ với mọi x ∈ (2; +∞)

Suy ra hàm số g(x) đồng biến trên (2; +∞)

Do đó m ≤ g(x) với mọi x ∈ (2; +∞)

Suy ra $m \le g\left( 2 \right) \Leftrightarrow m \le \frac{5}{{12}}$

Vì $0 < m \le \frac{5}{{12}}$

Do đó không có giá trị nguyên dương nào của m thỏa mãn bài toán

Vậy ta chọn đáp án C.