Đặt $t=\sqrt{1-x^2}$ , với $x\in \left[-1;1\right]\Rightarrow t\in \left[0;1\right]$

Bất phương trình đã cho trở thành   $t^3-t^2+1-m\le 0\iff m\ge t^3-t^2+1$   (1)

Yêu cầu của bài toán tương đương với bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi $t\in \left[0;1\right]$

Xét hàm số $f\left(t\right)=t^3-t^2+1\Rightarrow f^{\text{'}}\left(t\right)=3t^2-2t$

$f^{\text{'}}\left(t\right)=0\iff \left[\begin{array}{c}t=0\notin \left(0;1\right)\\ t=\frac{2}{3}\in \left(0;1\right)\end{array}\right.$

Vì $f\left(0\right)=f\left(1\right)=1;f\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{23}{27}$  nên $\underset{\left[0;1\right]}{\max }f\left(t\right)=1$

Do đó bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi khi $t\in \left[0;1\right]$ và chỉ khi  $m\ge 1$

Mặt khác m là số nguyên thuộc  $\left[0;2019\right]$ nên $m\in \left\{1;2;3;\mathrm{...};2019\right\}$