Gọi M, m tương ứng là GTLN và GTNN của hàm số \(y = \frac{{2\cos x + 1}}{{\cos x - 2}}\). Khẳng định nào sau đây đúng?

A. M + 9m = 0;

B. 9M − m = 0;

C. 9M + m = 0;

D. M + m = 0.

Đặt cos x = t, t Î [−1; 1], hàm số trở thành:

\(y = f\left( t \right) = \frac{{2t + 1}}{{t - 2}},\;t \in \left[ { - 1;\;1} \right]\)

Ta có: \[y' = f'\left( t \right) = - \frac{5}{{{{\left( {t - 2} \right)}^2}}} < 0,\;\forall t \in \left[ { - 1;\;1} \right]\]

Suy ra hàm số nghịch biến trên [−1; 1]

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;\;1} \right]} f\left( t \right) = f\left( { - 1} \right) = \frac{1}{3} = M\\\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;\;1} \right]} f\left( t \right) = f\left( 1 \right) = - 3 = m\end{array} \right.\),

Do đó 9M + m = 0.

Chọn đáp án C.