Gọi H là giao của ba đường cao AI, BJ, CK của tam giác nhọn ABC. Dùng công thức tính diện tích tam giác để chứng minh:

Hỏi khi góc A của tam giác ABC là góc tù thì công thức đó thay đổi thế nào?

Kí hiệu S là diện tích tam giác.

• Xét trường hợp tam giác ABC nhọn, ta có

 $S_{HBC}=\frac{1}{2}\cdot HI\cdot BC;$  $S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AI\cdot BC$

Suy ra  $\frac{S_{HBC}}{S_{ABC}}=\frac{\frac{1}{2}\cdot HI\cdot BC}{\frac{1}{2}\cdot AI\cdot BC}=\frac{HI}{AI}$

Chứng minh tương tự, ta có:  $\frac{S_{HAC}}{S_{ABC}}=\frac{HJ}{BJ}$ và  $\frac{S_{HAB}}{S_{ABC}}=\frac{HK}{CK}$.

Suy ra,  $\frac{HI}{AI}+\frac{HJ}{BJ}+\frac{HK}{CK}=\frac{S_{HBC}+S_{HAC}+S_{HAB}}{S_{ABC}}$ (do H nằm bên trong tam giác ABC)

Do đó  $\frac{HI}{AI}+\frac{HJ}{BJ}+\frac{HK}{CK}=\frac{S_{ABC}}{S_{ABC}}=1$.

• Khi góc A là góc tù, H nằm trong góc đối đỉnh với góc BAC, ta có

S_ABC = S_HBC – S_HAB – S_HAC nên ta được  $1=\frac{HI}{AI}-\frac{HJ}{BJ}-\frac{HK}{CK}$.