Gọi G là trọng tâm tam giác ABC và I, J thỏa mãn \(\overrightarrow {IA} = 2\overrightarrow {IB} ,3\overrightarrow {J{\rm{A}}} + 2\overrightarrow {JC} = \overrightarrow 0 \)

a) Phân tích \(\overrightarrow {{\rm{IJ}}} \) theo \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \)

b) Chứng minh rằng IJ qua G.

a) Ta có

\(\overrightarrow {IA} = 2\overrightarrow {IB} \Leftrightarrow \overrightarrow {IA} - 2\overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {IA} - 2\overrightarrow {IA} - 2\overrightarrow {AB} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {AI} = 2\overrightarrow {AB} \)

\(3\overrightarrow {J{\rm{A}}} + 2\overrightarrow {JC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow 3\overrightarrow {J{\rm{A}}} + 2\overrightarrow {JA} + 2\overrightarrow {AC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow 5\overrightarrow {J{\rm{A}}} + 2\overrightarrow {AC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {AJ} = \frac{2}{5}\overrightarrow {AC} \)

Ta có \(\overrightarrow {IJ} = \overrightarrow {{\rm{AJ}}} - \overrightarrow {AI} = \frac{2}{5}\overrightarrow {AC} - 2\overrightarrow {AB} = - 2\left( {\overrightarrow {AB} - \frac{1}{5}\overrightarrow {AC} } \right)\)                (1)

b) Ta có

\(\overrightarrow {JG} = \overrightarrow {{\rm{AG}}} - \overrightarrow {AJ} = \overrightarrow {AG} - \frac{2}{5}\overrightarrow {AC} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AM} - \frac{2}{5}\overrightarrow {AC} \) (M là trung điểm của BC)

\(\frac{{\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} }}{3} - \frac{2}{5}\overrightarrow {AC} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{{15}}\overrightarrow {AC} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB} - \frac{1}{5}\overrightarrow {AC} } \right)\)                    (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\overrightarrow {{\rm{IJ}}} = - 6\overrightarrow {JG} \)

Do đó I, J, G thẳng hàng