Gọi (d) là tiếp tuyến của (C) y= 2x-3/ x-2 tại M cắt các đường tiệm cận tại hai điểm phân biệt A, B. Tồn tại điểm M sao cho đường

Trả lời

$y^{\text{'}}=\frac{-1}{{(x-2)}^2}\forall x\ne 2$

Đồ thị (C) có tiệm cận đứng là đường thẳng x = 2 và tiệm cận ngang là đường thẳng y = 2 nên I ( 2;2).

Đặt $M\left(m+2;\frac{2m+1}{m}\right)\in \left(C\right)(m\ne 0)$.

$\Rightarrow \left(d\right):y=y^{\text{'}}\left(x_M\right)\cdot \left(x-x_M\right)+y_M\text{ hay }\left(d\right):y=\frac{-1}{m^2}\cdot (x-m-2)+\frac{2m+1}{m}\text{. }$

Gọi A là giao điểm của d và tiệm cận đứng x = 2

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x}_A=2\\ y_A=\frac{-1}{m^2}\cdot (2-m-2)+\frac{2m+1}{m}=\frac{2m+2}{m}\Rightarrow A\left(2;\frac{2m+2}{m}\right).\end{array}\right.$

Gọi B là giao điêm của (d) và tiệm cận ngang y =2

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}2=\frac{-1}{m^2}\cdot (x_B-m-2)+\frac{2m+1}{m}\\ y_B=2\end{array}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x}_B=2m+2\\ y_B=2\end{array}\Rightarrow B(2m+2;2).\right.\right.$

Vì $△IAB$ vuông tại I nên có bán kính đường tròn ngoại tiếp là

$R=\frac{AB}{2}=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{4m^2+\frac{4}{m^2}}=\sqrt{m^2+\frac{1}{m^2}}\text{ (1). }$

Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số dương $m^2$ và $\frac{1}{m^2}$, ta được: $m^2+\frac{1}{m^2}\ge 2\sqrt{m^2\cdot \frac{1}{m^2}}=2$ (2) .

Tự (1) và $\left(2\right)\Rightarrow R\ge \sqrt{2}\Rightarrow$ Diện tích hình tròn là $S=\pi R^2\ge 2\pi$.

Dấu "=" xảy ra $\iff \left\{\begin{array}{l}m\ne 0\\ m^2=\frac{1}{m^2}\end{array}\iff \left[\begin{array}{l}m=1\Rightarrow M(3;3)\\ m=-1\Rightarrow M(1;1)\end{array}\right.\right.$

Vậy S đạt GTNN bằng $2\pi$ khi M ( 1;1) hoặc M ( 3;3).