Giải phương trình: x^5 = x^4 + x^3 + x^2 + x +2

Trả lời

Lời giải

Ta có: x⁵ = x⁴ + x³ + x² + x +2

⇔ x⁵ – 1 = x⁴ + x³ + x² + x +1

⇔ (x – 1) . (x⁴ + x³ + x² + x +1) = x⁴ + x³ + x² + x +1

⇔ (x – 2) . (x⁴ + x³ + x² + x +1) = 0              (*)

Vì x⁴ + x³ + x² + x +1

\( = \left( {{x^4} + 2{x^2}.\frac{x}{2} + \frac{{{x^2}}}{4}} \right) + \left( {\frac{{{x^2}}}{4} + 2.\frac{x}{2}.1 + 1} \right) + \frac{{{x^2}}}{2}\)

\( = {\left( {{{\rm{x}}^2} + \frac{{\rm{x}}}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{{\rm{x}}}{2} + 1} \right)^2} + \frac{{{x^2}}}{2} > 0\)

Do đó (*) ⇔ x – 2 = 0

⇔ x = 2

Vậy phương trình có nghiệm là x = 2.