Giải phương trình x^2 - 1 = 2 căn bậc hai của 2x + 1

Trả lời

Lời giải

Ta có:

$\Leftrightarrow {x^2} - 1 + 2x + 2 = 2\sqrt {2x - 1} + 2x + 2$

$\Leftrightarrow {x^2} + 2x + 1 = 2x + 1 + 2\sqrt {2x + 1} + 1$

$\Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} = {\left( {\sqrt {2x + 1} + 1} \right)^2}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = \sqrt {2x + 1} + 1\\x + 1 = - \left( {\sqrt {2x + 1} + 1} \right)\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \sqrt {2x + 1} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\x + \sqrt {2x + 1} + 2 = 0\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$

Giải (1): $x = \sqrt {2x + 1} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} = 2x + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} - 2x - 1 = 0\end{array} \right.$

                                   $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} - 2x + 1 - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{\left( {x - 1} \right)^2} = 2\end{array} \right.$

                                   $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{\left( {x - 1} \right)^2} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\\left[ \begin{array}{l}x - 1 = \sqrt 2 \\x - 1 = - \sqrt 2 \end{array} \right.\end{array} \right.$

                                   $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\\left[ \begin{array}{l}x = 1 + \sqrt 2 \\x = 1 - \sqrt 2 \end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1 + \sqrt 2$

Kết hợp điều kiện $x \ge - \frac{1}{2}$ ta có: $x = 1 + \sqrt 2$.

Do đó phương trình (1) có 1 nghiệm là $x = 1 + \sqrt 2$.

Giải (2): $x + \sqrt {2x + 1} + 2 = 0$

Với $x \ge - \frac{1}{2}$ thì $\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {2x - 1} \ge 0\\x + 2 \ge \frac{3}{2}\end{array} \right. \Rightarrow x + \sqrt {2x + 1} + 2 > 0$

Do đó phương trình (2) vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là $S = \left\{ {1 + \sqrt 2 } \right\}$.