Giải phương trình sinxcosx + 2(sinx + cosx) = 2.

Đặt t = sinx + cosx = \(\sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\)

Vì \(\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \in \left[ { - 1;1} \right] \Rightarrow t \in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]\)

Ta có \({t^2} = {\left( {\sin x + \cos x} \right)^2} = {\sin ^2}x + {\cos ^2}x + 2\sin x\cos x \Rightarrow \sin x\cos x = \frac{{{t^2} - 1}}{2}\).

Khi đó, phương trình đã cho trở thành:

\(\frac{{{t^2} - 1}}{2} + 2t = 2 \Leftrightarrow {t^2} + 4t - 5 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 1}\\{t = - 5\left( l \right)}\end{array}} \right.\)

Với t = 1, ta được sinx + cosx = 1 \( \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \frac{\pi }{4}\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} + k2\pi }\\{x + \frac{\pi }{4} = \pi - \frac{\pi }{4} + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = k2\pi }\\{x = \frac{\pi }{2} + k2\pi }\end{array}} \right.,k \in \mathbb{Z}\).