Giải phương trình nghiệm nguyên 12x2 + 6xy + 3y2 = 28(x + y)
Giải phương trình nghiệm nguyên 12x2 + 6xy + 3y2 = 28(x + y)
Giải phương trình nghiệm nguyên 12x2 + 6xy + 3y2 = 28(x + y)
12x2 + 6xy + 3y2 = 28(x + y)
<=> 3y2 + 2y(3x − 14) + 12x2 − 28x = 0 (1)
Ta xem (1) là phương trình bậc hai ẩn y thì (1) có nghiệm nguyên khi ∆' là số chính phương
Ta có: ∆' = (3x − 14)2 − 3(12x2 − 28x) = −27x2 + 196 (2)
=> −27x2 + 196 = k2 ≥ 0 => 27x2 196
<=> x2 7
Mà x ℤ nên x {0; ±1; ±2}.
Lần lượt thử các giá trị của x vào (2) ta có:
+) Với x = 0 => ∆' = 196 = 142 (thỏa mãn) nên khi đó phương trình (1) trở thành
(1) <=> 3y2 − 28y = 0
+) Với x = ±1 => ∆' = 169 = 132 (thỏa mãn) nên khi đó
x = 1, phương trình (1) trở thành
(1) <=> 3y2 − 22y − 16 = 0
• Với x = −1, phương trình (1) trở thành
(1) <=> 3y2 − 34y + 40 = 0
•Với x = ±2 => ∆' = 88 (không thỏa mãn) nên khi đó không cho y là số nguyên.
Vậy cặp nghiệm nguyên (x; y) thỏa mãn là {(0; 0), (1; 8), (−1; 10)}.