Giải phương trình: 2x² + 4x = $\sqrt{\frac{x+3}{2}}$

Điều kiện xác định: x ≥ – 3

Nhân 2 vế của phương trình đã cho với 2 ta được:

4x² + 8x = $\sqrt{2x+6}$

⇔ (4x² + 8x + 4) + (2x + 2) = (2x + 6) + $\sqrt{2x+6}$

⇔ (2x + 2)² + (2x + 2) = (2x + 6) + $\sqrt{2x+6}$

Đặt u = 2x + 2; v = $\sqrt{2x+6}$  ≥ 0 

Thì ta được hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}u+u^2=v+v^2\\ v^2-u=4\end{array}\right.$

⇔ $\left\{\begin{array}{l}\left(u-v\right)\left(u+v+1\right)=0\\ v^2-u=4\end{array}\right.$

⇔ $\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}u=v\\ v^2-v-4=0\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}u=-1-v\\ v^2-\left(-1-v\right)-4=0\end{array}\right.\end{array}\right.$

⇔ $\left[\begin{array}{l}u=v=\frac{\sqrt{17}+1}{2}\\ \left\{\begin{array}{l}u=\frac{-1-\sqrt{13}}{2}\\ v=\frac{\sqrt{13}-1}{2}\end{array}\right.\end{array}\right.$

Với u = $\frac{\sqrt{17}+1}{2}$   thì 2x + 2 = $\frac{\sqrt{17}+1}{2}$

⇔ x = $\frac{\sqrt{17}-3}{4}$  (thỏa mãn)

Với u = $\frac{-1-\sqrt{13}}{2}$   thì 2x + 2 = $\frac{-1-\sqrt{13}}{2}$

⇔ x = $\frac{-5-\sqrt{13}}{4}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là:  $\left\{\frac{\sqrt{17}-3}{4};\frac{-5-\sqrt{13}}{4}\right\}$