Giải hệ phương trình: 6x^2-3xy x=1-y và x^2 y^2=1

Trả lời

Ta có:

6x² − 3xy + x = 1 − y

<=> 6x² − 3xy + x + y − 1 = 0

<=> (6x² − 2x) − (3xy − y) + (3x − 1) = 0

<=> (6x² − 2x) − (3xy − y) + (3x − 1) = 0

<=> 2x(3x − 1) − y(3x − 1) + (3x − 1) = 0

<=> (2x − y + 1)(3x − 1) = 0

+ TH1: 2x − y + 1 = 0

<=> y = 2x + 1 (1)

Thay (1) vào phương trình x² + y² = 1 ta được

x² + (2x + 1)² = 1

<=> x² + 4x² + 4x + 1 = 1

<=> 5x² + 4x = 0

<=> x(5x + 4) = 0

$\Rightarrow \left[\begin{array}{l}x=0\\ 5x+4=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=-\frac{4}{5}\end{array}\right.$

• Với x = 0, thay vào (1) ta được y = 1.

• Với $x=-\frac{4}{5}$, thay vào (1) ta được $y=2\cdot \left(-\frac{4}{5}+1\right)=-\frac{3}{5}$

+ TH2: 3x − 1 = 0

$\iff x=\frac{1}{3}$ (2)

Thay (2) vào phương trình x² + y² = 1 ta được ${\left(\frac{1}{3}\right)}^2+y^2=1$

$$\begin{gathered} \iff \frac{1}{9}+y^2=1 \\ \iff y^2=\frac{8}{9} \\ \Rightarrow y=\pm \frac{2\sqrt{2}}{3} \end{gathered}$$

Vậy nghiệm của hệ phương trình trên là $\left(x;y\right)=\left\{\left(0;1\right),\left(-\frac{4}{5};-\frac{3}{5}\right),\left(\frac{1}{3},\pm \frac{2\sqrt{2}}{3}\right)\right\}$