Vì vế trái của mỗi phương trình đều không âm và điều kiện ở vế phải của mỗi phương trình là $\left\{\begin{array}{l}x\ne 0\\ y\ne 0\end{array}\right.$ nên ta có $\left\{\begin{array}{l}x>0\\ y>0\end{array}\right.$

Hệ phương trình đã cho tương đương với: $\left\{\begin{array}{l}3x^{2}y=2y^2+1\\ 3y^{2}x=2x^2+1\end{array}\right.\begin{array}{c}\left(1\right)\\ \left(2\right)\end{array}$

Trừ (1) cho (2) vế theo vế, ta được: 3xy(x – y) = –2(x² – y²).

⇔ 3xy(x – y) + 2(x + y)(x – y) = 0.

⇔ (x – y)(3xy + 2x + 2y) = 0 (*)

Vì x > 0, y > 0 nên 3xy + 2x + 2y > 0.

Khi đó (*) tương đương với: x = y.

Thế x = y vào (1), ta được: 3y³ = 2y² + 1.

⇔ 3y³ – 2y² – 1 = 0.

⇔ y = 1 (nhận).

Với x = y, ta có: x = y = 1 (nhận).

Vậy tập nghiệm của hệ phương trình đã cho là: S = {(1; 1)}.