Hướng dẫn giải        

Ta có $\left\{\begin{array}{c}x+y=2\\ x^4+y^4=m\end{array}\right.\begin{array}{c}\left(1\right)\\ \left(2\right)\end{array}$

Từ (1) suy ra $y=2-x$  thay vào (2) ta được (2)  $\Rightarrow x^4+{\left(2-x\right)}^4=m$   (3)

Xét hàm số $f\left(x\right)=x^4+{\left(2-x\right)}^4$  có tập xác định $D=ℝ$

$f^{\text{'}}\left(x\right)=4x^3-4{\left(2-x\right)}^3\Rightarrow f^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff x^3={\left(2-x\right)}^3\iff x=2-x\iff x=1$

Bảng biến thiên

Hệ đã cho có nghiệm thực khi và chỉ khi phương trình (3) có nghiệm thực

Dựa vào bảng biến thiên ta được $m\ge 2\Rightarrow m_0=2\in \left(\frac{1}{2};\frac{9}{4}\right)$ . Chọn D