Giả sử hai đoạn thẳng AB và A'B' là các đoạn thẳng thay đổi, có trung điểm G ( 2;-1) và G' ( 1;0) cố định.

Giả sử hai đoạn thẳng AB và A'B' là các đoạn thẳng thay đổi, có trung điểm $G(2;-1)$ và $G^{\text{'}}(1;0)$ cố định. Tìm GTNN của tổng: $T=A{A}^{\text{'}}+B{B}^{\text{'}}$

Trả lời

vì $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{0}$ và $\overrightarrow{G^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}+\overrightarrow{G^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}=\overrightarrow{0}$ nên

$\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}+\overrightarrow{B{B}^{\text{'}}}=\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{G^{\text{'}}}+\overrightarrow{G^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}+\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{G{G}^{\text{'}}}+\overrightarrow{G^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}$

$=2\overrightarrow{G{G}^{\text{'}}}-(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB})+\left(\overrightarrow{G^{\text{'}}A}+\overrightarrow{G^{\text{'}}B}\right)$

$=2\overrightarrow{G{G}^{\text{'}}}$

Do đó $A{A}^{\text{'}}+B{B}^{\text{'}}=\left|\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}\right|+\left|\overrightarrow{B{B}^{\text{'}}}\right|\ge \left|\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}+\overrightarrow{B{B}^{\text{'}}}\right|$

$=2\left|\overrightarrow{G{G}^{\text{'}}}\right|=2G{G}^{\text{'}}$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi các vecto $\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}},\overrightarrow{B{B}^{\text{'}}}$ cùng hướng

Vậy $T_{\min }=2G{G}^{\text{'}}=2\sqrt{2}$

Chọn B