Định m để hàm số:

a) y = x³ − 3(2m + 1)x² + (12m + 5)x + 2 đồng biến trên tập xác định.

b) y = mx³ − (2m − 1)x² + (m − 2)x − 2 đồng biến trên tập xác định.

Lời giải

a) Hàm y đồng biến trên khoảng xác định khi mà

y' = 3x² − 6(2m + 1)x + 12m + 5 ≥ 0

Þ ∆' = 9(2m + 1)² − 3(12m + 5) £ 0

Û 3(2m + 1)² − (12m + 5) £ 0

Û 12m² + 12m + 3 − 12m − 5 £ 0

Û 12m² − 2 £ 0

Û 6m² £ 1

\( \Leftrightarrow - \sqrt {\frac{1}{6}} \le m \le \sqrt {\frac{1}{6}} \).

b) Hàm y đồng biến trên khoảng xác định khi mà

y' = 3mx² − 2(2m − 1)x + m − 2 ≥ 0 với mọi x Î ℝ.

Để đảm bảo điều trên xảy ra với mọi x thì m > 0.

Khi đó ∆' = (2m − 1)² − 3m(m − 2) £ 0

Û 4m² − 4m + 1 − 3m² + 6m £ 0

Û m² + 2m + 1 £ 0

Û (m + 1)² £ 0

Û m = −1.

Kết hợp ĐKXĐ nên không có giá trị nào của m thỏa mãn.